HILBERT (PROBLÈMES DE)

HILBERT (PROBLÈMES DE)

«Qui ne se réjouirait de pouvoir soulever le voile qui cache le futur, de jeter un regard sur le développement des mathématiques, ses progrès ultérieurs, les secrets des découvertes des siècles à venir?...»

Prévoir le futur des mathématiques: qui oserait aujourd’hui, parmi les plus grands mathématiciens, l’essayer? Pourtant, en 1900, c’est à cette question que tente de répondre David Hilbert, dont les idées, avec celles d’Henri Poincaré, ont sans nul doute marqué le plus profondément les mathématiques du XX^e siècle.

À l’époque du second congrès de mathématiques, tenu à Paris en 1900, Hilbert, professeur à l’université de Göttingen, avait songé à présenter une réponse à la conférence faite quatre ans auparavant par son grand rival, Poincaré, dans laquelle il plaidait pour des relations étroites entre les mathématiques et la physique. Mais Hilbert, sur une suggestion de son collègue Hermann Minkowski, choisit de tenter de «deviner le futur» des mathématiques, à travers un choix de problèmes. Felix Klein n’avait-il pas coutume de dire à ses étudiants que les mathématiques se développent «quand de vieux problèmes sont résolus par des méthodes nouvelles, et que l’approfondissement de ces questions anciennes fait naître en retour de nouveaux problèmes». Aussi Hilbert, convaincu du rôle des grandes questions et de l’existence dans tous les cas d’une réponse, fit la liste des vingt-trois «problèmes» qui allaient, selon lui, marquer le cours des mathématiques du XX^e siècle.

Le lecteur qui connaît la diversité des domaines des mathématiques où Hilbert a laissé de profondes marques (algèbre, théorie des nombres, analyse, problèmes d’axiomatique et de fondements...) ne sera pas étonné d’apprendre que l’histoire de ces problèmes, des travaux qu’ils ont suscités ressemble beaucoup à l’histoire des mathématiques au XX^e siècle! Il est cependant étrange que les spécialités qui paraissent a posteriori insuffisamment représentées (topologie, analyse) sont celles où Hilbert devait faire, après 1900, ses travaux les plus importants ou celles où l’influence de Poincaré est restée dominante. Devant l’ampleur des travaux qu’on peut relier aux problèmes de 1900 posés par Hilbert, notre choix a été d’insister sur les questions dont l’importance montre le mieux l’extraordinaire intuition prospective du célèbre mathématicien, en évoquant seulement celles qui font l’objet d’autres développements dans l’Encyclopædia Universalis , par exemple dans les articles HILBERT, LOGIQUE MATHÉMATIQUE, théorie des ENSEMBLES, théorie des NOMBRES, nombres TRANSCENDANTS...

Problème 1: hypothèse du continu

Cantor ayant démontré que le cardinal de l’ensemble des réels R excède celui de l’ensemble des entiers N, la question se pose de savoir si entre 尿⁰ (cardinal de N) et 2 size=1^尿0 (cardinal de R, dont on voit facilement qu’il égale celui de l’ensemble des parties de N) il existe un cardinal intermédiaire. Autrement dit, est-il possible qu’un sous-ensemble infini de R ne soit équipotent ni à N ni à R? Cantor pensait que non et Hilbert, partageant cette intuition, propose comme premier problème la démonstration de cette conjecture, dite hypothèse de continu (HC), qui s’exprime donc par l’égalité 2 size=1^尿0 = 尿¹ (cf. théorie des ENSEMBLES - Théorie axiomatique des ensembles). Hilbert rattache aussitôt ce problème à une autre conjecture de Cantor, qu’il reprend à son compte, selon laquelle R peut être muni d’un bon ordre, ce qui, selon lui, devrait entraîner l’hypothèse du continu.

Il a fallu plus de trente ans pour commencer à élucider ces questions et plus de soixante pour leur apporter une solution qui, bien que complète, n’est peut-être que provisoire.

La première tâche a consisté à préciser une axiomatique pour la théorie des ensembles: ce sera l’œuvre de Zermelo, à partir de 1908, de Bernays, de Von Neumann, de Gödel, de Frankel dans les années 1920-1930 ^{[cf. LOGIQUE MATHÉMATIQUE]}. Zermelo énonce en particulier l’axiome du choix, qui a pour conséquence que tout ensemble peut être muni d’un bon ordre. La seconde étape accomplie par Gödel (1938) est de montrer que, si la théorie des ensembles, axiomatisée par l’un des systèmes couramment admis tel que ZF (cf. théorie des ENSEMBLES - Théorie axiomatique des ensembles) est consistante, alors cette théorie augmentée de l’axiome du choix et de l’hypothèse du continu est encore consistante. Le troisième et dernier pas est franchi par Cohen, qui démontre en 1963 que la consistance de ZF entraîne celle de ZF augmenté de la négation de l’axiome du choix, ainsi que celle de ZF augmenté de l’axiome du choix et de la négation de l’hypothèse généralisée du continu (pour tout ordinal 見, on a: 2 size=1^尿 size=1^見 = 尿 size=1^{見 + 1}). On aboutit donc à l’indépendance relative de l’axiome du choix par rapport à ZF, et de l’hypothèse généralisée du continu par rapport à ZF + axiome du choix (cf. théorie axiomatique des ENSEMBLES). Il paraît peu douteux qu’une telle solution eût profondément étonné Hilbert. Aujourd’hui encore, de nombreux mathématiciens partagent le sentiment de Gödel selon lequel l’hypothèse du continu est susceptible d’une confirmation ou d’une infirmation. Le résultat de Gödel et de Cohen, pour définitif qu’il soit, n’en laisse pas moins ouverte la possibilité, certes lointaine, qu’une appréhension de la notion d’ensemble plus fidèle que celle que formalise ZF fournisse une réponse «déterministe» à une question dont il est prouvé qu’elle n’en possède pas dans le cadre actuel.

Problème 2: consistance de l’arithmétique

Fonder une science, selon Hilbert, c’est déterminer «un système d’axiomes contenant une description exacte et complète des rapports que soutiennent les idées élémentaires de cette science». Les axiomes constituent, en même temps, une définition de ces idées élémentaires, et les seules assertions relevant de cette science qui soient réputées valides sont celles qui se déduisent des axiomes en un nombre fini d’étapes. La question fondamentale de l’axiomatique ainsi définie est de montrer que le système d’axiomes choisi ne peut, en aucun cas, conduire, en un nombre fini d’étapes, à une contradiction.

C’est en ces termes que Hilbert présente son deuxième problème: établir la non-contradiction des axiomes de l’arithmétique (à laquelle il ramène l’analyse). Son objectif immédiat comprend deux aspects, intimement liés:

– dissiper les doutes quant à la validité de l’ensemble des mathématiques, dont certaines parties voient à l’époque leur bien-fondé mis en cause, d’une part «expérimentalement», par l’apparition des paradoxes de la théorie des ensembles, d’autre part méthodologiquement, par les soupçons suscités par le concept d’infini.

– asseoir la réalité des entités mathématiques sur la consistance des axiomes qui les définissent, condition dont Hilbert affirme hautement qu’elle est nécessaire et suffisante.

Naturellement, la non-contradiction des axiomes doit elle-même être établie par des procédés strictement et évidemment finis, sous peine de régression infinie. Qu’une telle démonstration soit possible repose, dans l’esprit de Hilbert, sur l’idée que tout raisonnement mathématique met en jeu un nombre fini d’opérations intellectuelles portant sur un nombre fini de symboles. Tout raisonnement faisant appel à l’infini n’est donc qu’une «façon de parler» et doit se ramener à une procédure finitiste.

Ce deuxième problème a ceci de singulier qu’il porte sur des notions qui n’avaient pas fait l’objet d’une analyse préalable. C’est ainsi que Hilbert ne précise ni quelle axiomatique il propose pour l’arithmétique, ni quelles chaînes déductives il considère comme légitimes. C’est au cours des années suivant le congrès de 1900 que ces notions seront précisées, conduisant Hilbert à énoncer, en 1904, son célèbre programme (cf. fondements des MATHÉMATIQUES, HILBERT, théorie de la DÉMONSTRATION, INTUITIONNISME), qu’il continua d’approfondir et de préciser jusqu’à la fin des années vingt, à la veille des découvertes de Gödel. De cette réflexion et des travaux de l’école de Hilbert est née la métamathématique , annoncée par Frege, outil forgé dans le but de fonder les mathématiques, c’est-à-dire d’établir leur consistance par des moyens mathématiques suffisamment élémentaires pour échapper au doute, en particulier plus pauvres que ceux qui sont admis en général en mathématiques. En 1931, les théorèmes d’incomplétude de Gödel mettent fin à cet espoir ainsi formulé. Ils ne vouent pas pour autant les travaux de Hilbert, ni son programme, à l’oubli. L’ambition de Hilbert est de constituer les preuves mathématiques en objet d’étude mathématique, et de déterminer l’appareil déductif minimal, irréductible et irréfutable, par quoi l’esprit humain engendre la connaissance mathématique. Ambition légitime, défi fécond que sauront relever les logiciens contemporains.

Problèmes de géométrie élémentaire (problèmes 3 et 4)

Le troisième problème a ceci de particulier qu’il concerne un sujet issu des « mathématiques élémentaires», de la géométrie dans l’espace telle qu’on l’enseignait encore récemment dans les lycées.

Euclide, déjà, calculait la surface d’un triangle en le décomposant en triangles plus petits et, pour les polyèdres de l’espace, il avait recours à un procédé d’«exhaustion», ou principe de continuité, dont l’apparition regrettable est déjà signalée par Gauss. Hilbert demande si cela est vraiment nécessaire: Peut-on appliquer la méthode de décomposition en polyèdres pour le calcul du volume? Cette question fut aussi la première à être résolue, puisque, l’année même du congrès de Paris, M. Dehn, un étudiant de Hilbert, démontrait qu’on ne pouvait pas décomposer un cube et un tétraèdre régulier de même volume en un nombre fini de polyèdres deux à deux identiques.

Dans le même ordre d’idées, le quatrième problème suggère l’étude de toutes les géométries pour lesquelles la plus courte distance entre deux points est réalisée par les segments de droite (géométries construites sur des sous-ensembles de l’espace projectif). Cette question était évidemment en relation avec les préoccupations de Hilbert concernant les fondements de la géométrie. Les travaux sur ce problème, sans avoir épuisé le sujet, sont plutôt à classer dans le domaine de la géométrie différentielle (travaux de Minkowski, de Funk, de Busemann).

Problème 5: existe-t-il des groupes de Lie «continus»?

L’hypothèse de dérivabilité est-elle nécessaire dans la définition d’un groupe de Lie? On peut formuler ainsi la question que pose Hilbert. Ce sujet n’a pas la place centrale que d’autres problèmes ont eue dans le développement des mathématiques durant notre siècle. Cependant les spécialistes des groupes topologiques ont apporté de nombreuses réponses partielles avant que soit démontré en 1953 le résultat suivant (Gleason-Montgomery-Zippin):

Théorème . Tout groupe topologique localement euclidien est un groupe de Lie.

Plus généralement, on s’est intéressé à la donnée d’un groupe de Lie agissant sur une variété topologique M: Sous quelles conditions peut-on munir la variété d’une structure différentiable compatible avec l’action du groupe? Ce problème possède d’étroites relations avec les développements (sous-estimés par Hilbert dans cette liste de questions) de la topologie moderne: variétés différentiables, variétés semi-linéaires.

Problème 6: mathématisation des axiomes de la physique

Il est impossible d’établir un quelconque lien entre les préoccupations de Hilbert en 1900, consacrées à la physique, et l’état actuel des problèmes mathématiques reliés à notre conception de l’Univers. En effet, il faut d’abord tenir compte de la profonde révolution que connut la physique: relativité, théorie quantique, relativité générale. Comme les progrès de la logique, ces découvertes débordent du cadre de la science, et elles ont exigé de nouvelles habitudes de pensée.

Une autre raison de cette coupure entre les problèmes de la physique mathématique tels que Hilbert les envisage et leur développement effectif, c’est qu’à aucun moment il n’ait pressenti que de nouveaux outils seront introduits, issus de l’analyse, et qui contribueront au renouvellement complet du formalisme. Peut-on aujourd’hui exagérer l’importance de la notion d’espace de Hilbert en physique théorique?

Or, en 1900, pour Hilbert, l’un des outils puissants qui doivent servir, en physique même, c’est la «théorie des probabilités». On remarquera que cette discipline ne s’est constituée que plus tard comme branche des mathématiques (plus précisément de la théorie moderne de la mesure, après la popularisation de l’axiomatique de Kolmogorov). Après quatre-vingts années de travaux sur la mécanique statistique, la théorie cinétique des gaz, etc., où le point de vue probabiliste s’est imposé dans l’étude de systèmes en évolution composés d’un grand nombre de variables, on retrouve le même genre de préoccupations dans la théorie ergodique, dans l’étude des systèmes dynamiques et dans la mécanique statistique moderne (travaux de Birkhoff, d’Anosov et de Stephen Smale).

Rappelons donc que la formalisation de la mécanique quantique de Heisenberg et des travaux de Schrödinger fut l’œuvre de Von Neumann, grâce à l’application des travaux sur les opérateurs auto-adjoints dans les espaces hilbertiens.

Les nombreux développements de la théorie quantique des champs ne peuvent pas être répertoriés ici, mais mentionnons qu’ils ont motivé et souvent devancé les travaux mathématiques, par exemple pour ce qui est de la théorie spectrale (travaux de Gelfand-Segal-Stone-Von Neumann sur les algèbres stellaires), ou encore de l’utilisation de la théorie des fonctions de plusieurs variables complexes (matrice S, valeurs aux bords de fonctions holomorphes).

Problème 7: irrationnalité et transcendance de certains nombres

Hilbert aborde, avec le septième problème, les travaux de la théorie des nombres, surnommée par Carl Friedrich Gauss «la reine des mathématiques». L’existence de nombres transcendants avait été prouvée par Liouville; puis Hermite et Lindemann avaient respectivement montré la transcendance de e et de 神. Hilbert propose de montrer la transcendance de a ^b , pour a algébrique et b irrationnel. Exemple:

Cette question, dont la solution a valu à juste titre la célébrité à Gelfond, est considérée comme résumant le septième problème. Il est cependant intéressant de remarquer que Hilbert suggère l’étude plus générale des valeurs prises par des fonctions transcendantes pour des valeurs algébriques de la variable. Ce point de vue a été largement exploité ultérieurement.

Mais revenons d’abord aux résultats de Gelfond, raffinés par Schneider, qu’on peut énoncer comme suit:

Théorème . Soit A le corps des nombres algébriques et Q celui des rationnels,

1. Si a est un nombre algébrique différent de 0 et de 1 et si b est un irrationnel algébrique, alors a ^b est transcendant,

2. Si a et b sont des nombres algébriques différents de 0 et de 1, alors lg a /lg b est rationnel ou transcendant,

3. Si a et b sont deux nombres algébriques non nuls, alors, si lg a et lg b sont linéairement indépendants sur Q, ils sont de même linéairement indépendants sur A.

Ces résultats ouvraient la voie à la théorie moderne des nombres transcendants: les méthodes de démonstration, qui reposent sur les fonctions entières de la variable complexe (plus récemment, de plusieurs variables complexes) ont connu des raffinements successifs. Ainsi, l’un des résultats obtenus par Alan Baker (médaille Fields en 1970) est le suivant:

Théorème . Si a ¹, ..., a ⁿ sont des nombres algébriques non nuls tels que leurs logarithmes soient linéairement indépendants sur Q, alors 1, lg a ¹, ..., lg a ⁿ sont linéairement indépendants sur A.

La méthode de Gelfond, raffinée par Baker, a permis de démontrer de très nombreux résultats de transcendance. Mentionnons le suivant: Si les b ⁱ sont algébriques et les a ⁱ algébriques non nuls, alors:

est transcendant, pourvu qu’on ait soit b ⁰ non nul, soit 1, b ¹, ..., b ⁿ linéairement indépendants sur Q.

L’ensemble de ces résultats a permis de borner le nombre de solutions de certaines équations diophantiennes. D’autres travaux concernent les valeurs et les périodes de fonctions elliptiques (Schneider). Ce domaine est entré dans une période de progrès importants, en particulier dus à l’introduction des techniques de plusieurs variables complexes (travaux d’Enrico Bombieri, médaille Fields en 1974). Il reste cependant que des problèmes anciens ne sont pas encore résolus (dépendance algébrique de e et de 神, transcendance de la constante d’Euler).

Les nombres premiers (problèmes 8 et 9)

C’est sans doute l’une des plus célèbres conjectures mathématiques que celle de Riemann sur les zéros de la fonction 﨣. Rappelons qu’on a par définition:

qui définit une fonction méromorphe dans le plan complexe, avec des zéros simples, dits «triviaux» aux points 漣 2, 漣 3, ... Riemann a émis l’hypothèse que tous les autres zéros avaient une partie réelle égale à 1/2. Parmi les très nombreuses applications qu’aurait ce résultat, mentionnons que le théorème des nombres premiers (Hadamard-de La Vallée-Poussin) pourrait être mis sous sa forme «optimale» (meilleure approximation du reste).

Il semble, d’après la présentation de l’hypothèse de Riemann dans le huitième problème et aussi d’après le témoignage ultérieur de Carl Siegel, que Hilbert espérait voir cette hypothèse résolue de son vivant, ce qui le conduisit à suggérer qu’un tel résultat permettrait d’aborder dans de meilleures conditions de vieux problèmes comme la conjecture de Goldbach ou l’existence d’une infinité de couples de nombres premiers de la forme (a , a + 2), dits nombres premiers jumeaux .

Ces questions, elles aussi, sont encore non résolues. Bombieri, lauréat de la médaille Fields en 1974, a amélioré le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet (cf. théorie des NOMBRES - Théorie analytique) et a suggéré qu’un certain nombre de problèmes anciens, qui paraissent de peu d’intérêt, puissent regagner de l’importance si on montrait qu’ils sont indécidables dans l’arithmétique «commune» et si on parvenait à construire des modèles d’arithmétique (voir ci-dessus Problème 1 et Problème 2 ) où ils auraient des solutions de différents types.

Comme Hilbert le suggère déjà, l’hypothèse de Riemann peut s’énoncer dans un cadre plus général. Si on remplace le corps des rationnels par un corps de fonctions sur une courbe projective C définie sur le corps fini F^q , l’analogue de l’hypothèse de Riemann prend alors la forme suivante:

Pour tout 﨎 礪 0, il existe une constante c ( 﨎) telle que:

pour tout m 閭 1, en désignant par N ^m le nombre de points de C définis sur F^{q m} .

Le premier cas fut traité par Gauss (sur n’importe quel F ^q ); c’est celui de la lemniscate elliptique y ² = x ⁴ 漣 1. Puis Helmut Hasse démontra le résultat pour toutes les courbes elliptiques. En 1940, André Weil, qu’on peut considérer comme le fondateur avec Oscar Zariski de la géométrie algébrique moderne, esquissait deux démonstrations de l’hypothèse de Riemann pour les courbes de genre arbitraire sur un corps fini. Dans les deux cas, un rôle important était joué par la théorie des «correspondances », bien connue de l’école italienne et rigoureusement démontrée (par des méthodes transcendantes) dans le cas complexe. Le besoin d’étendre ce formalisme amena Weil à écrire son livre Foundations of Algebraic Geometry et ensuite à donner les versions complètes des démonstrations, étendues (pour la seconde) au cas de variétés abéliennes quelconques. Avant d’aborder la généralisation de l’hypothèse de Riemann aux dimensions supérieures, mentionnons que deux autres démonstrations essentiellement différentes ont été données dans le cas des courbes, l’une par Pierre Deligne, l’autre par V. Stepanov.

En 1949, Weil, sous le titre Nombre de solutions d’équations dans des corps finis , propose des énoncés qui devraient être valides dans le cas de variétés de dimensions supérieures en généralisant la fonction zêta. Soit X une variété projective non singulière de dimension supérieure à 1, soit n , su F^q . Posons:

où Nⁿ est le nombre de points de X à coordonnées dans Fq ⁿ .

Voici les «conjonctures de Weil», devenues célèbres car elles sont à l’origine de nombreux travaux de géométrie algébrique depuis les années 1970:

– La fonction Z(X/F^q , T) est une fonction rationnelle de T, qui peut se mettre sous la forme:

où les Pⁱ sont de degré b ⁱ et leurs racines sont de module q ^i/2 (ce qui est précisément l’analogue de l’hypothèse de Riemann dans ce cadre);

– On a une «équation fonctionnelle» pour la fonction zêta;

– Si X provient par réduction d’une variété projective complexe non singulière, alors les b ⁱ sont les i -ièmes nombres de Betti de cette variété.

Sous l’impulsion d’André Weil, puis d’Alexander Grothendieck, fondateur de la théorie des schémas (médaille Fields en 1966), toute une génération de mathématiciens spécialistes d’algèbre, de géométrie et de théorie des nombres a préparé la voie pour la démonstration de ces conjectures. Après l’étape fondamentale constituée par la définition par Michael Artin, le fils d’Emil Artin, et par Grothendieck dans les années soixante-dix d’une bonne théorie de la cohomologie («cohomologie l -adique»), susceptible de s’appliquer à des cas de caractéristique non nulle, il semblait que la résolution des conjectures de Weil passait par une étape intermédiaire formulée par A. Grothendieck, et qui donnerait des informations suffisantes sur les cycles algébriques de X (théorème de Lefschetz «dur», décomposition primitive en cohomologie).

Aussi l’annonce de la démonstration des conjectures de Weil par Pierre Deligne, en 1973, fit l’effet d’une bombe dans le ciel serein des mathématiciens. Il est impossible de donner, en quelques lignes, une idée de la superbe démonstration de Deligne; mentionnons seulement qu’elle fait appel non seulement à tout l’appareil de la géométrie algébrique que nous avons évoqué, mais aussi à l’analyse classique (technique de Hadamard-de La Vallée-Poussin pour montrer que la fonction zêta classique de Riemann n’a pas de zéros pour s = 1 + iy ), aux travaux géométriques de Lefschetz... Ces résultats ont des applications à la théorie des formes modulaires. De plus, l’introduction d’idées nouvelles, nombreuses et profondes, permettait d’éviter le cheminement qui paraissait devoir être suivi (Deligne déduit même de sa démonstration la partie des conjectures de Grothendieck qui concerne la «décomposition primitive» de la cohomologie). Deligne a reçu en 1978 la médaille Fields pour l’ensemble de ses travaux. Parmi eux, la démonstration des conjectures de Weil restera, sans aucun doute, parmi les plus beaux achèvements mathématiques du siècle.

Théorie algébrique moderne des nombres (à propos des problèmes 9 et 12)

La théorie des nombres a connu des développements d’une très grande fertilité à partir des travaux de Hilbert, de Kronecker et d’autres mathématiciens de la fin du XIX^e siècle, qui ont conduit à la forme moderne de la théorie algébrique des nombres. Il est difficile de résumer les résultats profonds et abstraits qui ont été obtenus. En voici une esquisse.

Soit A l’anneau des entiers d’un corps algébrique de nombres. Si I est un idéal premier de A, on définit, pour tout a dans A, le symbole de Legendre

comme le nombre de solutions, ôté d’une unité, de x ² 令 a (modulo I, classes de congruences de solution). Ce symbole est multiplicatif en a ; le problème de la réciprocité quadratique qu’évoque Hilbert (neuvième problème) est celui du comportement du symbole par rapport à I; les travaux consacrés à cette question (entre autres par Hilbert) suggéraient une relation entre le groupe de classes d’idéaux d’un corps de nombres algébriques et les groupes de Galois de ses extensions abéliennes (à groupe de Galois abélien) non ramifiées. La théorie du corps de classes, créée entre 1900 et 1930 par Furtwangler-Takagi et par Emil Artin, a résolu ce problème. Les relations entre le cas des corps locaux et celui des corps globaux furent ensuite clarifiées par l’introduction des idèles (C. Chevalley).

L’étape suivante fut l’introduction des méthodes de cohomologie des groupes. Ces méthodes et l’étude des séries L (théorie de Langlands) ont fait l’objet de travaux d’extension de la loi de réciprocité quadratique au cas non abélien.

Problème 10: résolubilité des équations diophantiennes

Hilbert proposait de chercher un algorithme (nous emploierons ce terme, qui n’est pas celui qu’emploie Hilbert, en admettant son sens intuitif) permettant de déterminer en un nombre fini d’opérations si une équation diophantienne a des solutions (entières).

La théorie des fonctions récursives et des algorithmes, qui s’est développée depuis les années trente (parallèlement à «l’explosion informatique»), a permis de formuler précisément le problème posé par Hilbert, et de le résoudre, par la négative! (I. Matijasevi face="EU Caron" カ, 1970).

Mais, comme Hilbert le remarquait, même un résultat négatif comme celui-là ferait progresser la connaissance mathématique, par les méthodes mises au point pour aboutir, et aussi, comme nous allons voir, par les relations découvertes avec des questions qui paraissaient tout à fait indépendantes.

Si P(a ¹, ..., a ^N, z ¹,..., z ^m ) est un polynôme à coefficients entiers des variables a ⁱ et z ^j , on appelle ensemble diophantien l’ensemble des N-uples d’entiers (a ¹, ..., a ^N) tels que l’équation:

possède une solution en nombres entiers. Il est évident que tout ensemble diophantien est récursivement énumérable , c’est-à-dire qu’on peut définir (à partir du polynôme!) un algorithme qui fabrique la liste de ses éléments. Mais, et ceci constitue le résultat principal de cette théorie, la réciproque est vraie: tout ensemble récursivement énumérable est diophantien.

D’autre part, un ensemble d’entiers est dit calculable s’il existe un algorithme permettant de déterminer en un nombre fini d’étapes si un nombre lui appartient ou non. D’après la théorie des algorithmes, on connaît l’existence d’un ensemble récursivement énumérable qui ne soit pas calculable. Les deux résultats que nous venons d’évoquer permettent à Matijasevi face="EU Caron" カ de démontrer qu’il existe une famille à un paramètre d’équations diophantiennes pour laquelle on ne puisse pas trouver d’algorithme permettant de décider si l’équation a, ou non, des solutions entières (l’analogue avec des nombres rationnels n’est pas connu). Les méthodes développées dans ce domaine eurent des «retombées» étonnantes: on sait maintenant (on en a même des formules explicites) qu’il existe un polynôme à coefficients entiers, d’un certain nombre de variables (12 est le chiffre le meilleur qu’on ait obtenu), tel que ses valeurs positives soient exactement l’ensemble des nombres premiers (et zéro).

Du reste, vers 1960, Putnam avait remarqué qu’une solution négative (du problème de Hilbert sous la forme que nous avons exposée), aurait pour conséquence l’existence d’un polynôme ayant pour valeurs positives l’ensemble des nombres premiers. Certains en avaient alors déduit qu’une telle solution du dixième problème de Hilbert était peu plausible!

On peut montrer que de nombreuses questions d’arithmétique (comme l’hypothèse de Goldbach, comme celle de Riemann...) sont équivalentes à la non-résolubilité d’une certaine équation diophantienne. De plus, comme l’ensemble des théorèmes d’une théorie mathématique formalisée est récursivement énumérable, on peut encore déduire des résultats précédents que la consistance, par exemple, de l’hypothèse du continu avec les axiomes de Zermelo-Fraenkel est équivalente à la non-résolubilité d’une certaine équation diophantienne.

Ces résultats surprenants ont le mérite non seulement de permettre de résoudre les problèmes d’arithmétique ou de logique que nous avons pris comme exemples, mais d’éclairer d’une nouvelle lumière d’autres domaines des mathématiques. On peut penser que le développement de la logique (calculabilité, théorie de la démonstration) donnera une importance accrue à la théorie des ensembles diophantiens.

Problème 11: classification des formes quadratiques (à coefficients dans des anneaux d’entiers algébriques)

On considère des formes quadratiques de m variables à coefficients dans un anneau intègre A. Il s’agit de classer ces formes, deux d’entre elles étant identifiées si elles sont équivalentes (si une transformation linéaire des variables permet de passer de l’une à l’autre). Par exemple, on sait bien (théorème de Sylvester) que toute forme quadratique sur R ^m (qu’on suppose, pour simplifier, non dégénérée) est équivalente à une forme du type:

Au moment de son discours de Paris, Hilbert disposait déjà de la classification sur Z et d’un plan de classification sur Q qu’avait suggéré Minkowski. Aussi Hilbert annonce-t-il avec confiance que la classification sur des anneaux ou des corps de nombres algébriques peut être abordée avec succès. Il faudra pourtant les efforts de nombreux mathématiciens, jusqu’aux travaux de Carl Siegel dans les années cinquante, pour arriver à une mise au point satisfaisante de la question. En voici quelques étapes.

En 1923-1924, Hasse reprenait la classification sur Q sans utiliser la théorie sur Z. Notons, pour tout nombre premier p , Q^p le corps des nombres p -adiques (cf. théorie des NOMBRES - Nombres p -adiques). Le corps Q se plonge dans Q^p , et deux formes quadratiques déjà équivalentes sur Q le sont sur Q^p . Le théorème de Hasse-Minkowski assure que, réciproquement, si deux formes à coefficients rationnels sont équivalentes sur Q ^p pour tout p et sur R, elles sont aussi équivalentes sur Q. La classification sur Q^p utilise le symbole de Hasse défini comme suit.

On remplace la forme par une forme diagonale:

et on pose:

est le symbole de Hilbert: il vaut + 1 si l’équation a 﨡² + b 兀² = 1 a une solution dans Q^p , et 漣 1 sinon.

La classification est alors la suivante: les formes quadratiques sur Q ^p sont classées par m (nombre de variables), le discriminant et le symbole de Hasse. La classification sur Q est donc, elle aussi, achevée. L’analogue du théorème de Hasse-Minkowski est encore vrai pour les corps de nombres algébriques. Par contre, ce principe n’est plus vrai pour Z. Deux formes quadratiques sur Z sont dites avoir le même genre si elles sont équivalentes sur l’anneau des entiers p -adiques Z^p pour tout p premier, et aussi sur R. Chaque genre est formé d’un nombre fini de classes d’équivalences (sur Z); ce nombre est appelé nombre de classe du genre. Il a été étudié dans les années trente, en particulier par C. Siegel.

Un nouveau point de vue, plus géométrique, fut introduit par E. Witt en 1937: Soit q : V 憐 VF une forme bilinéaire symétrique sur l’espace vectoriel V sur F. On suppose q non dégénérée. Si F est le corps des fractions d’un anneau A, on appelle A-réseau sur V un sous-A-module de V de la forme:

où les Dⁱ sont des idéaux convenables. On peut définir l’équivalence de deux réseaux de manière à retrouver la notion précédente. Dans le cas où F est un corps de nombres et A l’anneau des entiers, on peut développer l’analogue de la théorie de Hasse-Minkowski. La caractérisation du genre pour la classification des réseaux sur Z fut obtenue dans les années quarante.

Dans les années soixante (Tamagawa et al.) les résultats de Siegel furent interprétés en termes de groupes d’adèles; mais ces travaux, ainsi que leurs développements, sont d’une haute technicité qui nous est ici interdite.

Problème 13: superposition des fonctions continues

À partir de fonctions de deux variables, on peut fabriquer des fonctions de trois variables par un procédé élémentaire qui s’appelle superposition . Ainsi, à partir des fonctions f ¹(x , y ), f ²(x , y ) et g (x , y ), on fabrique la fonction de trois variables:

par exemple, les racines de l’équation du second degré: x f ² + y f + z = 0 sont des fonctions des trois paramètres x , y et z , qui s’expriment aisément, à partir de fonctions de deux variables, par ce procédé de superposition. Le même résultat, mais moins évident à démontrer, est valide jusqu’au sixième degré; pour le septième degré, les efforts semblaient vains en 1900. Remarquons que ces procédés de superposition apparaissent naturellement dans une technique de résolution des équations qui s’appelle la nomographie. Hilbert suggère donc que l’équation du septième degré ne peut être résolue par superposition de fonctions continues de deux variables. Plus généralement, on peut considérer que le treizième problème de Hilbert consistait à montrer qu’il existe des fonctions continues de trois variables qui ne sont pas des superpositions de fonctions de deux variables.

Le problème resta longtemps sans solution, malgré de nombreux efforts demeurés infructueux, dont ceux de Bieberbach, qui lui firent dire de ce problème malheureux qu’il portait bien son chiffre (13). Aussi peut-on imaginer la surprise des mathématiciens devant le résultat prouvé en 1954 par Kolmogorov et Vladimir Arnold (qui n’était encore à l’époque qu’étudiant à l’université de Moscou!). Leur résultat réfutait la suggestion de Hilbert:

Théorème . Il existe des fonctions continues 淋^ij sur [0, 1] telles que toute fonction continue f sur [0, 1] 憐 [0, 1] 憐 [0, 1] peut s’écrire, pour des fonctions g ^j continues d’une variable bien choisies:

et le résultat s’étend aux fonctions continues de n variables.

Cependant, si on fait des hypothèses de différentiabilité, cet énoncé n’est plus exact. De nombreux auteurs ont étudié les différentes hypothèses convenables (condition de Lipschitz, différentiabilité...), mais ces résultats ne paraissent pas devoir donner lieu à des applications importantes; en tout cas, il n’est peut-être pas inutile de savoir qu’il existe des fonctions de n 閭 2 variables, r fois différentiables, qui ne peuvent pas être obtenues par superposition de fonctions r fois différentiables de moins de n variables.

De notre point de vue, l’intérêt principal de ces travaux a été d’introduire des techniques raffinées de mesure de sous-ensembles d’espaces métriques (entropie, capacité, notions dues à Kolmogorov), qui permirent par exemple de démontrer le résultat suivant:

Théorème . Soit, dans un domaine fermé D de Rⁿ , la famille des fonctions continues de la forme:

où les p ⁱ et les q ⁱ sont fixées; on suppose les fonctions q ⁱ différentiables et les fonctions g ⁱ continues d’une variable (quelconques). Alors cette famille est sans point intérieur dans l’espace des fonctions continues sur D.

Problème 14: théorie des invariants

Ce problème a trait à un sujet auquel Hilbert avait consacré sa thèse. Ses résultats, qui sont, en quelque sorte, à l’origine de la géométrie algébrique moderne, auraient suffit à eux seuls à lui assurer une place au panthéon des mathématiques (cf. HILBERT: «Théorie des invariants», dans le chapitre Algèbre et théorie des nombres ). L’énoncé moderne du problème qu’il propose est le suivant:

On considère un corps k et un sous-corps K du corps E des fonctions rationnelles en n variables sur k , avec:

l’anneau R = k [X¹, ..., Xⁿ ] est, bien entendu, une k -algèbre de type fini. Est-ce encore vrai de K 惡 R?

Si on prend k de caractéristique nulle et K, le corps des fractions rationnelles invariantes par un groupe G de transformations linéaires unimodulaires agissant sur k , alors K 惡 R est l’anneau des polynômes invariants par G, et la réponse est positive, d’après un théorème de Hilbert, le théorème des invariants. Il suggère donc d’abandonner la donnée du groupe! Une fois encore l’art prospectif de Hilbert s’impose à nous dans toute sa puissance. Car, si la réponse à la question posée est négative en général, la recherche de critères de validité et d’interprétations géométriques a eu des développements qui justifient a posteriori l’intérêt du grand mathématicien.

Le premier contre-exemple à la conjecture fut donné par Nagata en 1959. Il s’agit de l’anneau des invariants d’un anneau de polynômes sous l’action d’un «gros» groupe commutatif.

En 1954, Oscar Zariski donne une interprétation géométrique du problème de Hilbert, en montrant que, étant donné les corps k , K, ... comme plus haut, il existe une variété projective X sur k et un diviseur positif D sur X tel que X ait K pour corps des fonctions rationnelles et que K 惡 R soit isomorphe à l’anneau des fonctions rationnelles sur X n’ayant de pôles que sur D. C’est cette interprétation qui permit d’exhiber des contre-exemples.

Un autre point de vue pour généraliser la situation envisagée par Hilbert est le suivant: Étant donné une variété X et une relation d’équivalence R sur X dont le graphe est une sous-variété de X 憐 X, peut-on définir une variété-quotient X/R? Là aussi de nombreux contre-exemples furent trouvés. Cependant, Michael Artin introduisit de nouveaux objets, les «espaces algébriques», qui forment une classe fermée par passage au quotient par relations d’équivalence («raisonnables», comme plus haut). On voit donc que même un problème comme celui-ci, qui aboutit à une réponse négative, a permis des développements qui justifient amplement son énoncé parmi les «grands» problèmes mathématiques.

Problème 15: fondements de la géométrie énumérative de Schubert

Les calculs de Schubert, déjà présents pour les courbes planes chez Euler et dans d’autres cas chez Bezout, sont, par exemple, du type suivant:

Trouver le nombre de droites de l’espace rencontrant quatre droites données. Depuis Poncelet, on supposait les objets géométriques considérés «en position générale». Si besoin, le calcul était cependant effectué dans des cas exceptionnels et on faisait appel à un argument de continuité («principe de conservation des nombres», selon Schubert).

C’est cette méthode de calcul, qui avait été l’objet d’une polémique, qu’il s’agit de fonder. Cette étude fut effectuée par Severi, puis par Van der Waerden (1930), qui rendit rigoureux le calcul des intersections grâce aux travaux de Lefschetz sur la cohomologie. Plus tard, les développements de l’algèbre homologique ont permis de rendre complètement algébrique le calcul d’intersection, ce qui permet de l’étendre à des corps de caractéristique non nulle («formule des Tor» de Jean-Pierre Serre, médaille Fields en 1954). Cependant, une fois justifié le calcul énumératif, encore faut-il l’utiliser pour donner, comme le demande Hilbert, des résultats «exacts» pour les «nombres géométriques» qui interviennent, par exemple, dans les problèmes de géométrie projective. Schubert avait déjà commencé ce travail, par l’introduction de cycles algébriques qui sont devenus un outil essentiel d’étude dans les grassmanniennes, sous le nom de cycles de Schubert: ils forment une base de l’algèbre de cohomologie de ces grassmanniennes.

Le point de vue moderne et «fonctoriel» sur ces questions a été l’œuvre de S. S. Chern, qui introduit, dans les années cinquante, des classes de cohomologie caractéristiques pour des fibrés vectoriels, qui sont les images inverses des cycles de Schubert des grassmanniennes. Ces questions, où se mêlent les différents aspects de la géométrie (classique, énumérative, géométrie algébrique moderne), ont été l’objet de nombreux travaux. Un autre aspect des travaux est constitué de ce qu’on peut appeler la théorie «énumérative» des singularités, ainsi que de la définition de l’espace des variétés complètes. Les polynômes de Thom-Boardman déterminent des stratifications de variétés lisses relativement à une application différentiable satisfaisant certaines conditions de transversalité. On voit donc la grande richesse des questions soulevées par Hilbert, puisqu’elles ont conduit à de nouvelles théories, profondes, mais il reste encore des formules explicites de Schubert à justifier et à comprendre.

Problème 16: topologie des variétés algébriques réelles; cycles limites

L’histoire des questions que soulève ici Hilbert est particulière: on peut considérer que la première partie, qui concerne la disposition des branches d’une courbe non singulière dans l’espace projectif réel P²(R) a été traitée avec succès, alors que la deuxième question, relative aux cycles limites d’équations différentielles, n’a connu pratiquement aucun progrès.

1. D’après le théorème d’Harnack (1876), le nombre de branches d’une courbe non singulière d’ordre m dans P²(R) est au plus égal à:

on appelle M-courbes celles qui réalisent ce maximum. Plusieurs auteurs, dont Hilbert, ont proposé des constructions de ces M-courbes, puis se sont attaqué à la topologie des courbes (disposition des branches, caractéristique d’Euler-Poincaré du complémentaire...). Les étapes les plus importantes sont les suivantes: en 1933, Petrovski démontre des inégalités portant sur la caractéristique d’Euler 﨑(B⁺) de:

où f = 0 définit une courbe de degré pair. Ce résultat est généralisé (par René Thom, médaille Fields 1958, entre autres) aux hypersurfaces algébriques réelles. En 1970, Vladimir Arnold, utilisant les méthodes modernes de la topologie, démontre un théorème de congruence concernant les «ovales» d’une M-courbe d’ordre pair et de nombreux autres résultats comme le suivant:

pour les M-courbes d’ordre pair.

Parmi les résultats de Harlamov, de Gudkov, de Rohlin, mentionnons le théorème suivant: Soit A^C une variété algébrique complexe non singulière de P ^q (C), invariante par conjugaison complexe; on note A la partie réelle de A^C et on suppose que la dimension de l’homologie totale à coefficients dans Z² de A et A^C sont les mêmes. Alors, si A est de dimension impaire n ,

où 靖(A) désigne la signature de la forme d’intersection dans Hⁿ (A).

Ce résultat généralise un théorème connu pour les M-courbes. On peut constater aujourd’hui l’extrême élaboration à laquelle est parvenu ce domaine; cependant il reste encore de nombreuses questions, dont celle de décrire les M-courbes d’un degré donné.

2. Dans les années 1880, Henri Poincaré avait commencé l’étude qualitative des équations différentielles d’ordre un sur la sphère. Il montrait que toute courbe intégrale du champ défini par l’équation soit aboutit à un point critique (et il fait la classification de ceux-ci: nœud, selle, etc.), soit devient asymptotique à une courbe fermée tangente au champ, qu’on appelle dans ce cas cycle limite. Hilbert suggère que, si l’équation différentielle est donnée par des polynômes homogènes de degré n , il existe un nombre maximal de cycles limites. Ce problème reste ouvert, malgré de nombreux résultats concernant la classification des équations différentielles.

Problème 17: fonctions rationnelles positives sur Rⁿ

Après avoir remarqué l’existence de polynômes de deux variables (à coefficients réels) positifs sur R² qui ne sont pas somme de carrés de polynômes, Hilbert demande si une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) f (x ¹, ..., x ⁿ ) qui ne prend que des valeurs positives là où elle est définie est une somme de carrés de fonctions rationnelles.

Ce résultat a été établi par Artin, qui a montré aussi le résultat correspondant en remplaçant R par Q. Plus tard, A. Robinson a donné une démonstration qui utilise la logique mathématique (calcul des prédicats).

Après Artin, le résultat le plus substantiel a été obtenu par Pfister qui a montré que, dans le problème à coefficients réels, la fonction positive f (x ¹, ..., x ⁿ ) est somme d’au plus 2ⁿ carrés de fonctions rationnelles. Le problème d’une telle majoration sur le corps Q des rationnels reste ouvert, sauf dans le cas n = 1 où 5 carrés suffisent (la majoration 8 est due à Landau et le nombre 5 dû à Pourchet).

E. Becker a obtenu une caractérisation des sommes de puissances d -ièmes dans un corps (prolongeant ainsi le cas d = 2 étudié par Artin). Cela permet de montrer que (1 + 2x ²)/(1 + 3x ²) par exemple est, pour tout d , une somme de puissances d -ièmes dans le corps des fractions rationnelles sur Q. Cette caractérisation permet de montrer a priori l’existence d’identités du type utilisé par Hilbert dans sa solution du problème de Waring (cf. théorie des NOMBRES - Théorie analytique des nombres, chap. 1).

Problème 18: «reconstruire l’espace avec des polyèdres congruents»

Ce titre est celui de Hilbert. Il doit évoquer les problèmes de pavage de l’espace, d’empilement, qui apparaissent en cristallographie et dans d’autres parties des sciences naturelles où se répètent des motifs dans un volume ou sur une surface. Les questions que pose Hilbert peuvent être formulées de manière plus moderne sous forme de trois problèmes.

1. Existe-t-il seulement un nombre fini de groupes (à isomorphisme près) discrets d’isométries de Rⁿ tels qu’il existe un domaine compact D de Rⁿ dont les images 塚D par les éléments 塚 du groupe recouvrent Rⁿ et n’ont que des points frontières en commun (domaine fondamental de G)?

Le problème fut résolu en 1910 par Bieberbach. Une étape intermédiaire fut de montrer que, sous les hypothèses précédentes, le groupe devait contenir n translations linéairement indépendantes.

2. Existe-t-il des polyèdres qui ne sont pas des domaines fondamentaux de groupes d’isométries, mais qui cependant peuvent (par «pavage») remplir l’espace?

De tels polygones furent construits, successivement par Reinhardt et Heesch dans les années trente.

3. Comment peut-on empiler dans l’espace des sphères de rayon donné de la manière la plus «dense» possible (en minimisant le volume non occupé)?

Le même problème pour des disques dans le plan a été résolu par Thue: comme l’intuition nous le suggère, la disposition «en alvéoles» est la plus dense. Dans l’espace, le problème est encore ouvert.

À l’opposé, Hilbert s’est demandé (dans son beau livre Géométrie et Imagination , paru en 1932) quelle était la structure rigide des sphères la plus «lâche». Encore une question qui est, à l’heure actuelle, sans réponse.

Équations aux dérivées partielles: problèmes 19, 20 et 23

Avant d’aborder le sujet de la théorie des fonctions, Hilbert pose la question: Quelles fonctions? Autrement dit, comment choisir une classe de fonctions ayant d’assez bonnes propriétés, mais aussi suffisamment riche pour contenir les solutions d’équations «naturelles», par exemple celles de la physique. Nous avons vu (treizième problème) que de telles préoccupations étaient constantes chez lui. Hilbert fait alors deux propositions, dont la première a connu un tel succès qu’il est à peine nécessaire de la mentionner: Choisir pour classe celle des fonctions analytiques. Par contre, la seconde proposition mérite un instant de réflexion: Hilbert suggère qu’on s’intéresse à la classe des fonctions «différentiellement algébriques», c’est-à-dire solutions d’équations différentielles (ou aux dérivées partielles) non linéaires de type polynomial. Cet exemple est beaucoup plus restreint (comme des résultats de Hölder le montraient déjà), mais Hilbert semble avoir pressenti que ces fonctions pourraient être intéressantes. Effectivement, elles ont joué un rôle en théorie des nombres (par exemple, travaux de K. Mahler sur les nombres transcendants) et, plus récemment, on a pu les voir réapparaître en logique: dans les travaux de Shelah en théorie des modèles.

On connaissait (pour ainsi dire depuis Cauchy) l’existence d’opérateurs aux dérivées partielles (le laplacien) dont le noyau ne contient que des fonctions analytiques. Hilbert sentit dans ce phénomène l’importance qu’il allait conquérir (théorie des opérateurs différentiels elliptiques, théorème de Petrovski); mais il insiste sur les problèmes de valeurs aux bords: on sait l’importance qu’ont eue ceux-ci dans son œuvre mathématique, en raison du fameux «principe de Dirichlet» (cf. HILBERT). Aussi le programme suggéré est-il celui de la régularité des solutions d’équations aux dérivées partielles provenant de problèmes variationnels (dix-neuvième problème), de problèmes avec conditions aux bords, éventuellement données par des équations aux dérivées partielles sur le bord (vingtième problème), ou enfin de problèmes provenant du calcul des variations.

Il est impossible de rendre compte en quelques lignes de l’extraordinaire développement qu’ont connu ces travaux depuis que Hilbert les suggérait. Car il faudrait passer en revue essentiellement toute l’analyse fonctionnelle de ce siècle, avec la découverte de techniques nouvelles (inégalités a priori, espaces de Sobolev...) ainsi que l’apparition d’êtres mathématiques nouveaux qui ont radicalement transformé la situation: par exemple les distributions, puis les opérateurs pseudo-différentiels, qui permettent aujourd’hui d’envisager de nouveaux progrès dans la classification des équations et systèmes d’équations aux dérivées partielles, par le recours à une étude «microlocale» (Hormander, Sato).

Il reste en particulier qu’un certain nombre de questions précisément soulevées par Hilbert n’ont pas encore obtenu de réponse satisfaisante. C’est le cas du problème de Plateau (parmi les surfaces ayant un bord donné, trouver celles qui ont une surface minimale).

Ces dernières années ont vu s’accroître l’importance des problèmes non linéaires, d’une part pour leurs applications (théorie du contrôle), mais aussi en raison de la découverte d’équations non linéaires importantes, décrivant des systèmes hamiltoniens en dimension infinie (équations de Kortweg-De Vries).

Problème 22: uniformisation des courbes analytiques

Le problème que soulève Hilbert à la suite des travaux de Poincaré est celui de la paramétrisation des courbes analytiques. Poincaré avait énoncé en 1883 le théorème suivant:

Toute relation analytique entre deux points de la sphère complexe peut être uniformisée, c’est-à-dire résulte de l’élimination de la variable complexe entre deux fonctions méromorphes définies soit sur le plan complexe, soit sur le demi-plan ou la sphère de Riemann. Mais la démonstration de Poincaré faisait apparaître des difficultés qu’évoque Hilbert dans son exposé.

La solution complète devait être donnée en 1907, par les efforts conjugués de Koebe et de Poincaré. L’élégance de ce problème a attiré de nombreux chercheurs, qui ont fait intervenir la théorie des groupes, la topologie. Puis, des extensions de la théorie de l’uniformisation aux dimensions supérieures ont été proposées (P. Griffiths).

Problème 21: monodromie des équations différentielles de Fuchs

On considère une équation différentielle linéaire d’ordre n dans un ouvert U du plan projectif complexe P¹:

c’est Fuchs qui, le premier, mit en lumière un type particulier parmi ces équations, caractérisées par des propriétés soit analytiques, soit algébriques. Ces équations, dites à point singulier régulier au point 見 (ou de Fuchs), sont en effet celles qui vérifient les deux propriétés équivalentes suivantes, pour 見 捻 P¹, z 捻 U:

– la fonction (z – 見)ⁱ a ⁱ (z ) est holomorphe en 見 pour i = 1, ..., n (resp. z ⁱ a ⁱ (z ) est holomorphe à l’infini si 見 = 秊);

– les solutions holomorphes définies dans des secteurs angulaires pointés de sommet 見 sont à croissance lente en 見 (resp. polynomiale, si 見 = 秊).

On peut donner une définition et une équivalence analogues pour les systèmes de la forme:

où A(z ) est une matrice n 憐 n holomorphe sur U.

Le théorème d’existence local des solutions de cette équation implique que le groupe fondamental de U en a 捻 U agit sur l’espace des solutions définies localement au voisinage de a ; cette action s’appelle l’action de monodromie de l’équation. Hilbert demande si, réciproquement, toute représentation complexe de dimension finie du groupe fondamental de U peut s’obtenir par action de monodromie sur une équation différentielle à points singuliers réguliers. La restriction aux équations de Fuchs est naturelle; car, sinon, on trouve beaucoup trop d’équations ayant une action de monodromie donnée.

Dans le cas de l’espace projectif privé de trois points, la solution du problème avait déjà été donnée par Riemann sous la forme de l’étude des séries hypergéométriques. Le point de vue de la théorie des fonctions a aussi permis la solution du problème en toute généralité (Birkhoff, Rohrl). Cependant la plus récente démonstration, due à P. Deligne, a le mérite d’approfondir les relations entre les phénomènes topologiques et les phénomènes algébriques. De telles relations avaient déjà été systématisées (travaux de De Rham, de Henri Cartan et de Jean-Pierre Serre sur la cohomologie des variétés algébriques, par exemple). L’étape essentielle dans la démonstration de Deligne consiste à «compactifier» les données selon une technique devenue fréquente en géométrie algébrique et qui utilise un résultat qu’un aperçu des progrès réalisés depuis 1900 ne peut oublier: le théorème de résolution des singularités d’Hironaka. Au passage, les notions de système de Fuchs sont étendues au cas de plusieurs variables. Les systèmes d’équations aux dérivées partielles à points singuliers réguliers semblent devoir jouer un rôle important dans le développement de la théorie des équations aux dérivées partielles (travaux de M. Sato). Encore une fois le choix de Hilbert se révèle d’une extraordinaire intuition.

Ce bref aperçu du développement des travaux suggérés par les problèmes posés en 1900 par Hilbert devrait convaincre le lecteur, spécialiste ou non, qu’une étude approfondie ressemblerait beaucoup à l’histoire des mathématiques de 1900 à nos jours. Malgré les questions encore sans réponse, elle ne ferait que confirmer l’épitaphe placée sur la tombe de David Hilbert à Göttingen:

Nous devons savoir,

Nous saurons.

Encyclopédie Universelle. 2012.